Universit´e Paris-Dauphine
I.U.P. G´enie Math´ematique et Informatique
Deug de g´enie math´ematique et informatique
Alg`ebre et Calcul matriciel
Andr´e Casadevall
octobre 2004
Table des matiéres
1 Rappels d’alg`ebre lin´eaire 7
1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Propri´et´es des op´erations internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Structures alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Calcul dans les espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Famille d’´el´ements d’un espace vectoriel E - Combinaisons lin´eaires . . . . . 12
1.2.4 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Propri´et´es des familles d’´el´ements d’un espace vectoriel E . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Familles g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Bases d’un espace vectoriel E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 Th´eor`eme fondamental des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 D´efinition - Existence d’une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Dimension d’un espace de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Propri´et´e des espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.4 Rang d’une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 D´efinitions - Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 Propri´et´es des applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.3 Image et noyau d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.4 Applications lin´eaires injectives, surjectives - Isomorphismes . . . . . . . . . . 21
1.6 Applications lin´eaires et dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Caract´erisation des applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Rang d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Calcul Matriciel 25
2.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 D´efinitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Matrices triangulaires, matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Op´erations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 ´Egalit´e de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Op´erations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Transpos¢¥ee d¡¯une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Noyau et image d¡¯une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 D¢¥efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 Rang d¡¯une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Matrices de rang-colonne plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Matrices et applications lin¢¥eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Application lin¢¥eaire associ¢¥ee `a une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Repr¢¥esentation matricielle des ¢¥el¢¥ements de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3 Repr¢¥esentation matricielle des applications lin¢¥eaires . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 R¢¥esolution num¢¥erique de syst`emes lin¢¥eaires 37
3.1 Syst`emes lin¢¥eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 D¢¥efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Repr¢¥esentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 Syst`emes triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.4 ¢¥Etude des solutions d¡¯un syst`eme lin¢¥eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Matrices ¢¥echelonn¢¥es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 Profil d¡¯une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 ¢¥El¢¥ements caract¢¥eristiques d¡¯une matrice ¢¥echelonn¢¥ee . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3 Propri¢¥et¢¥es des matrices ¢¥echelonn¢¥ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Syst`emes ¢¥echelonn¢¥es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 D¢¥efinition et exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Variables libres d¡¯un syst`eme ¢¥echelonn¢¥e - Solutions sp¢¥eciales . . . . . . . . . . 43
3.3.3 R¢¥esolution d¡¯un syst`eme ¢¥echelonn¢¥e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Algorithmes de r¢¥eduction de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1 Op¢¥erations sur les ¢¥equations d¡¯un syst`eme lin¢¥eaire . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.2 Tableau associ¢¥e `a un syst`eme lin¢¥eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.3 Matrices gauss-¢¥equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.4 R¢¥eduction sans ¢¥echange d¡¯un syst`eme d¡¯ordre n `a la forme triangulaire . . . . 46
3.5 R¢¥esolution d¡¯un syst`eme par r¢¥eduction `a la forme ¢¥echelonn¢¥ee . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.1 Algorithme de Gauss avec ¢¥echange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.2 Propri¢¥et¢¥es de la matrice initiale d¢¥eduites de la matrice ¢¥echelonn¢¥ee . . . . . . 47
3.5.3 R¢¥esolution du syst`eme ((S) Ax = b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Algorithme de Gauss-Jordan - Syst`emes ¢¥echelonn¢¥es r¢¥eduits . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.1 Matrice ¢¥echelonn¢¥ee r¢¥eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.2 Algorithme de r¢¥eduction de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7 Calcul de l¡¯inverse d¡¯une matrice carr¢¥ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.7.1 R¢¥eduction de syst`emes qui ne diff¢¥erent que par leur 2nd membre . . . . . . . 50
3.7.2 Algorithme d¡¯inversion de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8 Traduction matricielle des transformations de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8.1 Propri¢¥et¢¥es de la base canonique de Mn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8.2 Transformation ¥ók,i(a) : li ¡ç li + a . lk : matrices de transvection Tk,i(a) . . . 52
3.8.3 Transformation ¥ói(a) : li ¡ç a . li : matrices-produit Ti(a) . . . . . . . . . . . 53
3.8.4 Transformation ¥óij : li ¡ê lj : matrices d¡¯¢¥echange Pi,j . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Factorisation LU et applications 55
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Int´erˆet d’une telle factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Factorisation LU et algorithme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.2 Matrices triangulaires normalis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.3 Matrices d’´elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.4 Factorisation et algorithme de Gauss sans ´echange . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.5 Mise en oeuvre de la factorisation LU par l’algorithme de Gauss . . . . . . . 60
4.2.6 Une condition n´ecessaire et suffisante de factorisation . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.7 Factorisations LDV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Cas des matrices sym´etriques - Factorisation de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.1 Factorisation LDLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2 Matrices d´efinies-positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.3 Factorisation de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Factorisation PA = LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.1 Matrices d’´echange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2 Th´eor`eme de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.3 Pr´ıncipe de la mise en oeuvre de la factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 ´El´ements propres - R´eduction des matrices 67
5.1 Compl´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.1 Sommes de sous-espaces d’un espace vectoriel E . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.2 Sommes de sous-espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.3 Sommes directes et endomorphismes de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 D´eterminant d’une matrice carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.2 R´esultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.3 R`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.4 D´eterminants et op´erations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 ´El´ements propres, espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.1 ´El´ements propres d’une matrice carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.2 ´El´ements propres d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.3 Espaces propres d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.4 Espaces propres d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.1 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.2 Un crit`ere de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.3 Application de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5 Recherche des valeurs propres - Polynˆome caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5.1 Polynˆome caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5.2 Quelques r´esultats `a propos des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5.3 Analyse de la multiplicit´e des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6 Trigonalisation des matrices - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Formes bilin´eaires et quadratiques 83
6.1 Formes bilin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.2 Formes sym´etriques, formes altern´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.3 Formes bilin´eaires et dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 Forme polaire d’une forme quadratique sur E . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.3 Formes quadratiques et dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.4 Formes positives et d´efinies positives (K = R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2.5 D´ecomposition d’une forme quadratique en carr´es de formes lin´eaires . . . . . 88
6.3 Orthogonalit´e par rapport `a une forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.2 Formes non-d´eg´en´er´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.3 Bases q-orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 Espaces Euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4.2 Bases orthonorm´ees et algorithme de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 92
Informations
Auteur : Andr´e Casadevall
Pages : 92
Taille : 525 Ko
Format : PDF